Л. Левкович-Маслюк,
А. Переберин. Введение в вейвлет-анализ
Биортогональный многомасштабный анализ
Существует более гибкая конструкция МА, где класс допустимых фильтров шире, их коэффициенты проще вычислить, они могут быть симметричными и обладать другими полезными свойствами. Это – биортогональный МА, БМА. Быстрый алгоритм Малла сохраняется, но при разложении и восстановлении используются разные пары фильтров. Каждой паре соответствует МА со своими скейлинг-функцией и вейвлетом. Но эти МА не ортогональны – сдвиги скейлинг-функций и вейвлетов не ортогональны друг другу. Поэтому преобразования (1.8) – (1.9) не ортогональны. (Это означает, между прочим, что погрешность, внесенная при сжатии, может увеличиваться при восстановлении).
Рассмотрим две пары фильтров: 
и 
. Мы
хотим проводить разложение при помощи свертки с 
,
а восстановление – при помощи 
(в ортогональном случае 
).
Запишем условия точного восстановления (см. начало лекции 1). В терминах 
-преобразования
разложение на высокие и низкие частоты с прореживанием вдвое имеет вид:
Записав в аналогичном виде процесс восстановления с помощью пары 
,
приравняв результат к 
,
и подставив 
,
получим условия на ДПФ искомых фильтров (аналог (1.2)) :
(2.7)
Вводя матрицы
, 
,запишем эти условия в виде:
(2.7’)
Их решения ищутся при помощи такого итерационного процесса (см. рис.
3 из лекции 1): сначала в правую часть подставляется единичная ступенька
(скейлинг-функция Хаара), затем – результат этой подстановки, сжатый вдвое
по 
, и
т.д. Мы видели, что предельная функция определяет ОМА только если 
имеет очень специальный вид (см. 2.3 – 2.6). Для БМА выбор возможных фильтров
шире, но тоже требуются дополнительные условия, при которых имеет место
сходимость итераций, а предельные функции образуют базис. Предположим,
что все эти условия выполнены, и определим биортогональные вейвлеты формулами:
Функции 
, 
называют основными (primary), функции 
, 
– дуальными (dual). Взаимосвязь основных и дуальных функций, вытекающая
из (2.7), такова: при всех целых 
(2.10)
и 
, порожденные
базисами 
и 
, удовлетворяют
всем условиям ОМА, кроме последнего. Пространства 
и 
, порожденные 
и 
, дают
разложения 
и 
сигналов
в сумму сглаженных версий и деталей. Из (2.8) и (2.9) следует, что скейлинг-базисы 
и 
пространств 
и , а также
вейвлет-базисы 
и 
всего
пространства 
являются
дуальными друг к другу в смысле линейной алгебры (скейлинг-базисы
– на одном и том же масштабе, вейвлет-базисы – на всех масштабах):
,
.
(
)
не обязаны быть ортогональными к 
(
). Однако возможен
такой случай, когда базисы из сдвигов скейлинг-функций и вейвлетов в каждом
из этих подпространств не ортогональны, а сами подпространства ортогональны;
такой МА называется полуортогональным (semiorthogonal).
В случае ОМА для сигналов вида 
коэффициенты их проекций на 
и 
давались
формулами (1.6) и (1.6’) так как базисы сдвигов скейлинг-функций и вейвлетов
были ортогональны. В случае БМА коэффициенты разложения сигнала по основным
функциям – это скалярные произведения сигнала с дуальными функциями:
.Поэтому, чтобы спроектировать сигнал на 
,
надо вычислить его скалярные произведения с базисными функциями 
,
а на 
–
с базисными функциями 
.
Коэффициенты соответствующих разложений имеют вид:
(2.11)
, 
.В лекции 1 были введены матрицы 
и 
; определив
аналогичным образом 
и 
,
получим условие точного восстановления в виде:
(2.12)
Схемы разложения и восстановления получаются из (1.8) – (1.9) заменой
операторов разложения на 
и 
.
В заключение этого раздела приведем популярный пример серии биортогональных
МА, где 
и 
являются
сплайнами. Достаточно построить 
и 
, удовлетворяющие
условию
,и положить
, 
.Как и в ортогональном случае, должны выполняться некоторые дополнительные
условия (которые мы здесь не уточняем), гарантирующие сходимость, регулярность
и базисность решений уравнений рескейлинга (2.8) – (2.9). Кроме того, желательно,
чтобы вейвлет, используемый для разложения (т.е. 
),
имел хоть несколько нулевых моментов, а вейвлет и скейлинг-функция,
используемые для восстановления (
и ) были
как можно более гладкими. Имеется решение, удовлетворяющее всем этим требованиям.
Это решение использует сомножители того тригонометрического многочлена,
который был использован для построения ОМА (см 2.5).
Семейство фильтров имеет вид:
Скейлинг-функция 
является B-сплайном. На рис.2 показаны скейлинг-функции и вейвлеты БМА,
полученного при 
.
Ясно, что гладкость функций, порождающих дуальный МА, очень низка. При увеличении L получаются более гладкие функции, однако и длина фильтров соответственно увеличивается.