К разделу 'Математика' сайта AlgoList.

Домой Оглавление

Приложение А: Вычисление гамма-функции

Гамма-функция, задаваемая соотношением

,

входит в нормирующий множитель практически во все функции распределения. Поэтому, естественно, важно уметь ее вычислять. Трудность, однако, в том, что эта функция очень быстро растет: ведь для нее выполнено соотношение , т.е. для целых аргументов она растет как факториал, и не медленнее для дробных.

Быстрый рост чисел, с которыми приходится оперировать, необходимо учитывать и при вычислении собственно функций распределения. Скажем, вычисляя гамма-распределение, мы должны помнить о том, что неполная гамма-функция, нормирующим множителем для которой является , при большом аргументе становится близкой к . т.е. тоже большой. Поэтому, не удается разделить вычисления – сначала вычислить неполную гамма-функцию, потом полную, а потом поделить одну на другую. Приходится изобретать уловки, позволяющие справиться с ситуацией.

Стандартная «волшба» в подобных случаях – разделить вычисляемую функцию на произведение «трудной» и легкой частей, где «трудная» часть является произведением двух или большего числа быстро растущих сомножителей, и вычислять не саму «трудную» часть, а логарифм от нее.

Вот и пример. При x < a+1 для вычисления функции гамма-распределения мы используем разложение

,

распадающееся на «простую» часть , при работе с которой мы не сталкиваемся с слишком большими числами (факториал в знаменателе растет быстрее степени), и «трудную», которую мы вычисляем как . При x > a+1, для вычисления гамма-распределения используется разложение в цепную дробь, куда входит аналогичный «трудный» сомножитель.

Другой пример. Вычисляя бета-распределение при небольших x, мы используем цепную дробь

.

И снова разложение распадается, и «трудную» часть мы вычисляем как . И снова нужно уметь вычислять логарифм гамма-функции, поскольку .

В нижеследующих кодах используется асимптотическое разложение логарифма гамма-функции, которое (к сожалению, в недостаточно полном виде) можно найти в горячо рекомендуемом справочнике по специальным функциям М.Абрамовица и И.Стигана:

Когда аргумент z достаточно велик, его первые 20 членов дают около 50 верных знаков, если не учитывать ошибки, вызываемые конечной разрядностью. Отражением асимптотического характера ряда в кодах является увеличение слишком малого аргумента: если z меньше некоей границы (в данных кодах 7), он увеличивается, причем для корректировки используется упомянутое выше соотношение .


  Файл logGamma.h



#ifndef __LOGGAMMA_H__                 /* To prevent redefinition           */

#define ENTRY   extern
#define LOCAL   static

ENTRY double logGamma(double x);
/*
 * Вычисляет натуральный логарифм полной гамма-функции Gamma(x)
 */

#define __LOGGAMMA_H__                 /* Prevents redefinition             */
#endif                                 /* Ends #ifndef__LOGGAMMA_H__        */

  Файл logGamma.cpp



#include <math.h>
#include <assert.h>

#include "logGamma.h"

/***********************************************************/
/*                           logGamma                      */
/***********************************************************/

#define LGM_LIM         7
/* Implementation dependent const used to increase
 * convergence in logGamma and gammaDF.
 *      May be changed when porting functions to
 *      computers with different float/double lengths.
 */

ENTRY double
logGamma(double x)
/*
 * Compute natural logarithm of Gamma(x)
 *      using the asymptotic Sterling's expansion.
 * See Abramowitz & Stegun,
 *      Handbook of Mathematical Functions, 1964 [6.1.41]
 * The first 20 terms give the result with 50 digits.
 * If x <= 0, assert() is called to indicate error.
 */
{
   long double static c[20] =
   {
      /* Asymtotic expansion coefficients             */
      1.0 / 12.0, -1.0 / 360.0, 1.0 / 1260.0, -1.0 / 1680.0, 1.0 / 1188.0,
      -691.0 / 360360.0, 1.0 / 156.0, -3617.0 / 122400.0, 43867.0 / 244188.0,
      -174611.0 / 125400.0, 77683.0 / 5796.0, -236364091.0 / 1506960.0,
      657931.0 / 300.0, -3392780147.0 / 93960.0, 1723168255201.0 / 2492028.0,
      -7709321041217.0 / 505920.0, 151628697551.0 / 396.0,
      -26315271553053477373.0 / 2418179400.0, 154210205991661.0 / 444.0,
      - 261082718496449122051.0 / 21106800.0
   };


   double x2, presum, sum, den, z;
   int  i;

   assert(x > 0);                      /* Negative argument: Error!         */
   
   if (x == 1 || x == 2)
      return 0;

   for (z = 0; x < LGM_LIM; x += 1)    /* Increase argument if necessary.   */
      z += log(x);

   den = x;
   x2 = x * x;                         /* Compute the asymptotic expansion  */
   presum = (x - 0.5) * log(x) - x + 0.9189385332046727417803297364;
   for (i = 0; i < 20; i++) {
      sum = presum + c[i] / den;
      if (sum == presum) break;
      den = den * x2;
      presum = sum;
   }
   return sum - z;                     /* Fit the increased argument if any  */

}/*logGamma*/

Дата последней модификации: 25 октября 2000 г.

На правах рекламы
Мобильные телефоны nokia nSeries