:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте ::
Путь: Разное » Динамическое программирование
На правах рекламы
Скидки автоматический полив зеленые сотки системы автоматического полива
  Динамическое программирование



Кантор И. по статье Бразгалова Е.

Этот метод имеет под собой достаточно серьезную научную основу, однако его суть вполне можно объяснить на простом примере.


  Задача:



Числа Фибоначчи.

Вычислить N чисел в последовательности Фибоначчи, — 1, 1, 2, 3, 5, 8, … — в которой первые два члена равны единице, а все остальные представляют собой сумму двух предыдущих. N меньше 100.

Самый очевидный способ 'решения' задачи состоит в написании рекурсивной функции примерно следующего вида:

    Function F(X:integer):longint;
    Begin
          if (X=1) or (X=2) then F:=1 else F := F(X-1) + F(X-2)
    end;

При этом на шестом-седьмом десятке программа 'подвесит' самый быстрый компьютер. Попробуем разобраться, почему так происходит?

Для вычисления F(40) мы сперва вычисляем F(39) и F(38). Причем F(38) мы считаем “по новой”, “забывая”, что уже вычислили его, когда считали F(39).

То есть наша основная ошибка в том, что значение функции при одном и том же значении аргумента считается много (слишком много!) раз. Если исключить повторный счет, то функция станет заметно эффективней. Для этого приходится завести массив, в котором хранятся значения нашей функции:

Var D : Array [1..100] of LongInt;

Срабатывает золотой закон программирования — выигрывая в скорости, проигрываем в памяти. Сперва массив заполняется значениями, которые заведомо не могут быть значениями нашей функции (чаще всего, это 'минус единица', но в нашей задачке вполне годится для этих целей 'ноль'). При попытке вычислить какое-то значение, программа смотрит, не вычислялось ли оно ранее, и если да, то берет готовый результат.

Функция принимает следующий вид (не верьте, пожалуйста, книгам, утверждающим, что искать числа Фибоначчи рекурсивно нельзя в принципе — можно, если отсечение делать с умом):

    Function F(X : integer) : LongInt;
    Begin
      if D[X] = 0 then
            if (X=1) or (X=2)
            then D[X] := 1
            else D[X] := F(x-1) + F(x-2);
      F := D[X]
    End;

Этот подход динамического программирования называется подходом 'сверху вниз'. Он запоминает решенные задачи, но очередность решения задач все равно контролирует рекурсия.

На этом уже можно остановиться, но можно еще более упростить решение, убрав рекурсию вообще. Для этого необходимо сменить нисходящую логику рассуждения (от того, что надо найти к тривиальному) на восходящую (соответственно наоборот). В этой задаче такой переход очевиден и описывается простым циклом:

        D[1] := 1; D[2] := 1;
        For i := 3 to X do
                  D[i] := D[i-1] + D[i-2];

Здесь использован подход 'снизу вверх'. Чаще всего такой способ раза в три быстрее. Однако, в ряде случаев такой метод приводит к необходимости решать большее количество подзадач, нежели при рекурсии.

Очень часто для его написания приходится использовать как промежуточный результат нисходящую форму, а иногда безрекурсивная (итеративная) форма оказывается чрезвычайно сложной и малопонятной.

Общий совет таков: ишите и тестируйте рекурсивную форму, а переделыванием занимайтесь, если ваша программа превышает отведенное ей время на 'больших' тестах.