К разделу 'Математика' сайта AlgoList.

Домой Оглавление

Отрицательное биномиальное распределение

В последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p число y неудач до x-го успеха имеет отрицательное биномиальное распределение.
 
Обозначение Y(y|x,p) – число неудач
Область значений y – целое
Параметры x – число успехов, целое положительное число
p – вероятность успеха, 0 < p < 1
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание xq/p
Дисперсия xq/p2
Функция распределения

  Связь с другими распределениями


В горячо рекомендуемом справочнике М.Абрамовица и И.Стигана ("Справочник по специальным функциям", М: Мир 1979, [26.5.26]) предлагается следующая связь отрицательного биномиального распределения с бета-распределением:

.

Сумма k независимых случайных величин , i = 1..k, распределенных геометрически с параметром p, подчиняется отрицательному биномиальному распределению с .


  Генерация случайных чисел


Метод браковки

Берется последовательность независимых случайных чисел, равномерно распределенных на [0,1]. Среди них подсчитывается количество чисел, меньших p, и количество чисел, больших p. В тот момент, когда количество y чисел, меньших p, впервые станет равным x, количество чисел, больших p, даст случайное число, подчиняющееся отрицательному биномиальному распределению .

Использование геометрического распределения

Если значение p мало, быстрее может оказаться суммирование x независимых геометрически распределенных случайных величин , i=1..x: случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение. Случайные величины получаются из ri, равномерно распределенных на [0,1], согласно следующей формуле:, где – значение x, округленное в большую сторону до ближайшего целого числа.


  Вычисление функции распределения и ее квантилей


Проще всего, конечно, использовать указанную связь с бета-распределением. Как и для всех дискретных распределений вычисление квантилей объявляется бесполезным. Взамен предлагается найти вероятность успеха, когда известны количества неудач и успехов, а также соответствующее значение функции распределения.

Для вычислений с помощью нижеследующих кодов потребуются файлы betaDF.h, betaDF.cpp (см. раздел о бета-распределении), а также logGamma.h, logGamma.cpp (см. приложение А).

Файл negBinomialDF.h

#ifndef __NEGBINOMIAL_H__                     /* To prevent redefinition   */

#define ENTRY   extern
#define LOCAL   static

double negBinomialDF(long k, long n, double p);
/*
 * Для последовательности испытаний Бернулли вычисляется
 * вероятность того, что n-му успеху предшествуют k
 * или меньше неудач.
 *
 * Все аргументы должны быть положительными, причем 0 < p < 1.
 */

double rev_negBinomialDF(long k, long n, double y);
/*
 * Ищется значение p, для которого negBinomialDF(k,n,p) = y.
 *
 */

#define __NEGBINOMIAL_H__              /* Prevents redefinition             */
#endif                                 /* Ends #ifndef __NEGBINOMIAL_H__    */

Файл negBinomialDF.cpp

#include <assert.h>
#include <math.h>

#include "betaDF.h"

double negBinomialDF(long k, long n, double p)
/*
 * Для последовательности испытаний Бернулли вычисляется вероятность того,
 * что n-му успеху предшествуют k или меньше неудач, т.е. сумму
 * членов отрицательного биномиального распределения от 0 до k:
 *
 *   k
 *   --  ( n+j-1 )   n      j
 *   >   (       )  p  (1-p)
 *   --  (   j   )
 *  j=0
 *
 * При вычислении функции распределения ряд не суммируется.
 * Используется ее связь с бета-распределением:
 *
 * y = negBinomialDF(k, n, p) = betaDF(n, k+1, p).
 *
 * Все аргументы должны быть положительными, причем 0 < p < 1.
 */
{
   assert( (n > 0) && ( k >= 0 ) && (p >= 0.0) && (p <= 1.0) );
   return BetaDF(n, k+1).value(p);
}/*negBinomialDF*/ 

double rev_negBinomialDF(long k, long n, double y)
/*
 *
 * Ищется значение p, для которого negBinomialDF(k,n,p) = y.
 *
 */
{
   assert( (n > 0) && ( k >= 0 ) && (y >= 0.0) && (y <= 1.0) );
   return BetaDF(n, k+1).inv(y);
}/*rev_negBinomialDF*/

Дата последней модификации: 25 октября 2000 г.

На правах рекламы
Для вас в нашей компании моющее средство мама лимон в рассрочку со скидками.