ТЕКСТУРИРОВАНИЕ
4.4. Параболическое

Этот метод основан на приближении u, v квадратичными функциями - параболами, то есть. Для каждой строки строится приближающие u, v квадратичные функции, дальше с их помощью они интерполируются по строке. Для этого нам понадобятся точные значения u, v в трех точках - начале, середине и конце строки. Их считаем точно так же, как в 4.3.

Итак, пусть у нас есть точные значения u в начале, середине и конце строки, то есть на расстоянии 0, length/2 и length пикселов от начала этой строки, обозначим их как ua, ub, и uc соответственно. Мы пытаемся приблизить u квадратичной функцией, то есть полагаем, что

u = A*x*x + B*x + C,

где x - расстояние от текущей точки до начала строки. Тогда, подставив в формулу ua, ub, uc и соответствующие им x, получаем:

ua = C,
ub = A*(length*length)/4 + B*length/2 + C,
uc = A*(length*length) + B*length + C.

Т.о. C = ua, а для A и B имеем систему уравнений:

A*(length*length)/4 + B*length/2 = ub - ua,
A*(length*length) + B*length = uc - ua.

Умножим первое уравнение на четыре, вычтем из него второе:

4*A*(length*length)/4 + 4*B*length/2 - A*(length*length - B*length =
4*(ub - ua) - (uc - ua),

B*length = 4*(ub - ua) - (uc - ua),
B = (4*(ub - ua) - (uc - ua)) / length.

Умножим первое уравнение на два, вычтем его из второго:

A*(length*length) + B*length - 2*A*(length*length)/4 - 2*B*length/2 =
(uc - ua) - 2*(ub - ua),

A*(length*length)/2 = (uc - ua) - 2*(ub - ua),
A = (2*(uc - ua) - 4*(ub - ua)) / (length*length).

Получили формулы для A, B, C. Найдем теперь du и ddu. Для текущей точки x имеем:

du(x) = u(x+1) - u(x),
du = (A*(x+1)*(x+1)+B*(x+1)+C) - (A*x*x+B*x+C) = A*(2*x+1) + B,

ddu(x) = du(x+1) - du(x),
ddu = (A*(2*(x+1)+1)+B) - (A*(2*x+1)+B) = 2*A.

Т.о., начальные значения u, du, ddu будут равны

u = C,
du = A + B,
ddu = 2*A.

А по известным начальным значениям u, du, ddu последовательно вычисляем значения u в любой точке:

u(0), du(0), ddu - известны
u(1) = u(0) + du(0), du(1) = du(0) + ddu
u(2) = u(1) + du(1), du(2) = du(1) + ddu
u(3) = u(2) + du(2), du(3) = du(2) + ddu
...

Для v все делается полностью аналогично.

Таким образом, рисование строки будет выглядеть примерно так:

// ...

// считаем u, v для начала, середины и конца строки
ua = uz_start / z1_start;
va = vz_start / z1_start;
ub = (uz_start + uz_end) / (z1_start + z1_end);
vb = (vz_start + vz_end) / (z1_start + z1_end);
uc = uz_end / z1_end;
vc = vz_end / z1_end;

// считаем начальное du и ddu
pa = 2 * ((uc - ua) - 2 * (ub - ua)) / (length * length);
pb = (4 * (ub - ua) - (uc - ua)) / length;
pc = ua;
u   = pc;
du  = pa + pb;
ddu = 2 * pa;

// считаем начальное dv и ddv
pa = 2 * ((vc - va) - 2 * (vb - va)) / (length * length);
pb = (4 * (vb - va) - (vc - va)) / length;
pc = v_a;
v   = pc;
dv  = pa + pb;
ddv = 2 * pa;

// рисуем кусок
while (length--) {
  putpixel(current_sx, current_sy, texture[v][u]);
  u += du;
  v += dv;
  du += ddu;
  dv += ddv;
}
// ...

По сравнению с перспективно-корректным текстурированием имеем более медленный внутренний цикл, но меньшее для длинных строк количество делений. Расчет ua, va и иже с ними можно сделать с помощью трех делений, деления на length и (length*length) можно заменить умножениями на 1/length и 1/(length*length), беря эти значения из заранее посчитанной таблички. Т.о., на строку приходится три деления независимо от ее длины. Качество более-менее приемлемое; а для коротких строк можно использовать обычную линейную интерполяцию, точно так же, как и в случае с перспективно-корректным текстурированием. Получаем вполне конкурентоспособный метод текстурирования.